1.向你介绍我是谁
大家好！我是邓招徒，来自杭州市天长小学，是朱乐平名师工作站的成员，很高兴能在“一课研究”平台与您相遇！
2.本期内容有哪些
（1）听一听：机械学习孰好孰坏
（2）读一读：发现规律背后的本质知识
——“循环小数”教学实践与思考
（3）思一思：百分率陷阱
3.轻轻松松听听书
我们知道，数学学习需要学生记忆并能回忆大量的基础知识，比如加法算式，乘法表，运算法则，所以它极易受机械学习的影响，然而，从长远看，机械学习并不能达到所期望的准确回忆和反应的目的。
4.坚持阅读8分钟
发现规律背后的本质知识
——“循环小数”教学实践与思考
【教学内容简析】
在以往的教学中，常通过观察除法计算结果，使学生明白商的结果分有限和无限情况，明晰循环小数的概念，会记录和读写循环小数。老师们比较注重规律的观察和概念的揭示，然后练习，扎实掌握技能，也就是从“象”的揭示到“术”的应用方面做得比较足，可是学生对于“象”背后的“理”能否进一步理解呢？
我们希望通过观察除法竖式过程，使学生知道不同余数出现次数和小数循环节位数是一致的；通过说理辨析活动，使学生理解除法的非整数商只有有限和无限循环结果，并能迁移理解到小数除法的一致性；重点是理解循环节位数和除数大小关系。
本课安排了两个大环节给学生探究发现：一是研究为什么会出现循环，和什么有关；二是循环节的位数和出现不同的余数次数有什么关系。
【教学实施】
一、前测题引入，讨论商的结果并分类。
1.出示习题，学生观察。
师：课前老师给你们做了几道除法计算的题目，今天我们就一起来研究这些除法算式。请看，这些除法算式有什么共同特点？（都是整数÷整数，结果都是小数）
1÷2= 1÷3= 1÷6= 5÷4= 29÷22= 16÷99=
（1）出示题目作品。
（2）我也收集了几个作品，一起来看一下。你能根据商的结果来分分类吗？
（3）哪里看出除尽了。
（4）你们知道能除尽的叫什么小数，不能除尽的叫什么小数吗？
（5）分得非常清楚，接下来我们来研究这种除不尽的情况。
[设计意图]：通过课前调查，发现很多孩子已经知道无限小数的意思，所以把计算提到课前进行，能够留出更多的时间给孩子观察分类，分类能让学生明晰思维，进而能有更多时间来让学生研究除不尽的现象。
二、教学循环小数概念。
1.探讨商的特点和背后原因。
（1）小组研究活动1：
观察商的特点，尝试解释有这样的特点的原因；找到原因的可以在竖式上表示出来。
（2）教师来回巡视，指名汇报特点。
（3）汇报特点。师：同学们合作探索和交流地都很好，请代表说一说商的特点，把观察到的说出来。
生：商不断重复出现，商循环了。（板书：重复出现）
追问：你说的重复出现指的是什么？循环什么意思？能说一说哪些数字重复出现了？
追问：重复出现是只能重复2次或者3次吗？（板书：不断）
（4）师：这4个商的小数部分都有不断重复出现的现象，有什么不同的地方吗？
生：有的是从十分位开始就重复，有的是从百分位开始重复，有的是1个数字在重复，有的是2个数字在重复。
评价：同学们发现了问题（板书：发现问题），能去认真观察，这是很棒的学习方法。
[设计意图]：学生观察现象，老师把学生的方法提炼出来并板书，提升学生发现问题的能力。
2.揭示循环小数概念。
（1）你知道像这样的小数叫什么小数吗？
（2）出示概念：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数就叫循环小数。依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
3.循环小数的简便写法和读法。
（1）师：你能说一说这些循环小数的循环节吗？
（2）怎么去表示循环小数呢？（板书：解决问题）教师出示学生的记录方式，说一说表达的意思。
（3）对比：你更喜欢哪一种？为什么？
（4）出示错例，丰富认识概念内涵：你觉得这样可以吗？质疑。
4. 探索小数部分不断重复出现的原因。
（1）我们知道了循环小数，知道了循环小数有不断重复现象，谁来汇报为什么会出现循环？（板书：探寻原因）
（2）反馈。
生1：1÷3，余数1的时候，就商3，余数一直是1，商就一直是3.
生2：1÷6，当余数出现4的时候，商就是6，一直重复。
生3：29÷22，余数出现4，商是1，余数出现18，商是8，一直重复下去。
（3）师：也就是说重复的余数出现了，商也会有规律地重复出现。有什么补充吗？
（4）跟进基本练习1，认识循环节的唯一性。
23÷54= 4÷13=
三、深入探讨、理解本质知识。
1.环节小结，引发探讨：刚才我们谈论的整数÷整数的除法算式结果中，如果除不尽的话，就会出现循环小数，有没有可能是无限不循环的？你能猜猜看吗？
2.形成猜想：认为可能的人，怎么办（验证）。不可能的人怎么办，举一个反例。老师也给每个小组准备了一道题，我们来验证一下吧。
3.每个小组做一道题试一试。
小组研究活动2：
（1）2÷11= （2）8÷11= （3）1÷7= （4）3÷7=
（5）27÷101= （6）23÷27= （7）4÷9= （8）7÷9=
（1）每一小组选择自己组号的一道题计算，并写出答案。
（2）如果是循环小数，请在格子中写出一个循环节和一组余数。
（3）猜一猜循环节的位数和余数的出现有什么关系。
附：学习单。
4.校对。
（1）指名回答，教师灯片打出。
（2）这里8道除不尽的算式，商都是循环小数，现在认为可能的同学们，是不是有点信心了啊，如果再举多一些可能会更有感觉。我们把余数也填进去，说一说发现什么？
（板书：余数出现几次，循环节位数就几位）
（3）重点以除数是7为例。
提问：那余数可能出现7吗？为什么？（板书：余数比除数小）
（4）连起来怎么说，（板书：余数＜除数，重复的余数个数=循环节位数，循环节位数＜除数）
（5）质疑：有人在做5÷7时，结果写成了0.7142856，7142856循环，你能判断他是错的吗？
生：因为不同余数的数量总是比除数小1，所以循环节的位数最多最多也是比除数小1。
[设计意图]：通过分组探讨，让学生理清循环节的位数和不同余数的出现次数是一致的，而余数总是会比除数小的，所以不可能出现不同余数个数和除数相等情况，并让学生通过这一发现，解决问题。
5.深入思考：循环节的位数和余数的关系以及商的特点。
（1）讨论：1÷17你觉得循环节最多有多少位？
（2）思考：1÷17的循环节可能是17位吗？为什么？（余数次数和循环节位数相同，都要比除数小）
（3）呈现竖式并质疑：在这个循环节中为什么商有出现相同的数，比如有2个8，他们是同样的余数补0除得的吗？
（4）猜猜看：1÷23=的循环节位数呢？（22位）
（5）继续猜：1÷1861（1860位），1÷17938（17938位）
师：此刻你有什么想法想表达？
猜想：现在你觉得两个整数相除会不会得到不循环小数呢？为什么？
（6）再猜一个：1÷123的循环节位数？（为什么不是122位了，而是5位呢？）
[设计意图]：学生在研究循环节位数和除数关系时，往往会有一个认知的迷失点，就是余数重复出现和商部分的数字重复出现会搞混。
比如1÷17=0.0588235294117647…，这里要让学生明白，在一个循环节中，商的数字可能会有一样的。但是一样的商，却是不一样的余数补0后除出来的结果，比如上面的千分位和万分位的8，分别是150和140除以17的结果，继而要让学生认清的理是：余数如果重复出现了，那么商的循环才会开始。
通过大数据的表达，让学生逐步相信，如果除不尽，那么循环节的位数个数范围总是可以确定的，但是这样立起来的认知，需要用类似1÷123这样的除式来破一下，从而完善认知。
四、课堂总结、延伸。
师：这节课我们研究了什么？
师：如果是小数除以小数，除不尽的话，商也一定是循环小数吗？其实还有更多内容等着大家去研究，有兴趣的可以课外再去研究研究，也可以把研究成果和你们的小伙伴或者是老师分享。
5.思一思：百分率陷阱
医药研究者在实验一种新药，据称能改进人的智力。博士首先对他的一组病人进行试验，作为优秀的科学家，他决定给予一些病人真正的新药，而其余病人以“安慰剂”（不含药物的药片）。他的结果如下：
博士认为新药比安慰剂更有效，但是因为结果很相近，博士决定对更大的病人组重复这个实验。结果令人鼓舞，请看下面这组数据，博士认为服用新药的病人的表现又一次胜过服用安慰剂的病人。
医药公司老总对这个发现很是兴奋，决定把他们的数据合并起来公布结果，但是使它们困惑的是看到了最意想不到的结局，尽管在两项实验中新药都比安慰剂成功，但是将两项测验合并起来时，服用安慰剂的病人竟然比新药更成功。
这个结果太使人惊奇了，以致科学家把它看成视错觉的数学等价物，朋友们，你们看出问题了吗？
是的，如果认为百分率可以像简单数字一样地合并的逻辑，那就大错特错了，百分率是不能相加求平均的，就像速度不能用这种方法取平均一样。
